Конечная математика Примеры

$y = \frac{5}{x^{2} - 4 x + 7}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} = y$ .

$\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} = y$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{2} - 4 x + 7, 1$

Этап 2.2

Избавимся от скобок.

$x^{2} - 4 x + 7, 1$

Этап 2.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{2} - 4 x + 7$

Этап 3

Каждый член в $\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} = y$ умножим на $x^{2} - 4 x + 7$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} = y$ на $x^{2} - 4 x + 7$ .

$\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} (x^{2} - 4 x + 7) = y (x^{2} - 4 x + 7)$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $x^{2} - 4 x + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} (x^{2} - 4 x + 7) = y (x^{2} - 4 x + 7)$

Этап 3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$5 = y (x^{2} - 4 x + 7)$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 = y x^{2} + y (- 4 x) + y \cdot 7$

Этап 3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 = y x^{2} - 4 y x + y \cdot 7$

Этап 3.3.2.2

Перенесем $7$ влево от $y$ .

$5 = y x^{2} - 4 y x + 7 \cdot y$

$5 = y x^{2} - 4 y x + 7 y$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $y x^{2} - 4 y x + 7 y = 5$ .

$y x^{2} - 4 y x + 7 y = 5$

Этап 4.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$y x^{2} - 4 y x + 7 y - 5 = 0$

Этап 4.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.4

Подставим значения $a = y$ , $b = - 4 y$ и $c = 7 y - 5$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{4 y \pm \sqrt{{(- 4 y)}^{2} - 4 \cdot (y \cdot (7 y - 5))}}{2 y}$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Добавим круглые скобки.

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{{(- 4 y)}^{2} - 4 \cdot (y \cdot (7 y - 5))}}{2 y}$

Этап 4.5.1.2

Пусть $u = y \cdot (7 y - 5)$ . Подставим $u$ вместо $y \cdot (7 y - 5)$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.2.1

Применим правило умножения к $- 4 y$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 y}$

Этап 4.5.1.2.2

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{16 y^{2} - 4 u}}{2 y}$

Этап 4.5.1.3

Вынесем множитель $4$ из $16 y^{2} - 4 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $16 y^{2}$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2}) - 4 u}}{2 y}$

Этап 4.5.1.3.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 u$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2}) + 4 (- u)}}{2 y}$

Этап 4.5.1.3.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (4 y^{2}) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - u)}}{2 y}$

Этап 4.5.1.4

Заменим все вхождения $u$ на $y \cdot (7 y - 5)$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (y \cdot (7 y - 5)))}}{2 y}$

Этап 4.5.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (y (7 y) + y \cdot - 5))}}{2 y}$

Этап 4.5.1.5.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 y \cdot y + y \cdot - 5))}}{2 y}$

Этап 4.5.1.5.1.3

Перенесем $- 5$ влево от $y$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 y \cdot y - 5 \cdot y))}}{2 y}$

Этап 4.5.1.5.1.4

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.5.1.4.1

Перенесем $y$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 (y \cdot y) - 5 \cdot y))}}{2 y}$

Этап 4.5.1.5.1.4.2

Умножим $y$ на $y$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 y^{2} - 5 \cdot y))}}{2 y}$

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 y^{2} - 5 y))}}{2 y}$

Этап 4.5.1.5.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 y^{2}) - (- 5 y))}}{2 y}$

Этап 4.5.1.5.1.6

Умножим $7$ на $- 1$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - 7 y^{2} - (- 5 y))}}{2 y}$

Этап 4.5.1.5.1.7

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - 7 y^{2} + 5 y)}}{2 y}$

Этап 4.5.1.5.2

Вычтем $7 y^{2}$ из $4 y^{2}$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (- 3 y^{2} + 5 y)}}{2 y}$

Этап 4.5.1.6

Вынесем множитель $y$ из $- 3 y^{2} + 5 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.6.1

Вынесем множитель $y$ из $- 3 y^{2}$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (y (- 3 y) + 5 y)}}{2 y}$

Этап 4.5.1.6.2

Вынесем множитель $y$ из $5 y$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (y (- 3 y) + y \cdot 5)}}{2 y}$

Этап 4.5.1.6.3

Вынесем множитель $y$ из $y (- 3 y) + y \cdot 5$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (y (- 3 y + 5))}}{2 y}$

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 y (- 3 y + 5)}}{2 y}$

Этап 4.5.1.7

Перепишем $4 y (- 3 y + 5)$ в виде $2^{2} (y (- 3 y + 5))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.7.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{2^{2} y (- 3 y + 5)}}{2 y}$

Этап 4.5.1.7.2

Добавим круглые скобки.

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{2^{2} (y (- 3 y + 5))}}{2 y}$

Этап 4.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{4 y \pm 2 \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{2 y}$

Этап 4.5.2

Упростим $\frac{4 y \pm 2 \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{2 y}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{y}$

Этап 4.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{2 y + \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{y}$

$x = \frac{2 y - \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{y}$

$x = \frac{2 y + \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{y}$

$x = \frac{2 y - \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{y}$